Une autre méthode pour les soustractions à retenue

Ce que l'on m'avait dit de faire.

Bien sûr, quand on a une bonne soustraction à faire, on emploie le plus souvent une petite calculatrice. Parfois, on est obligé de la faire avec le crayon et le papier; et là c'est la catastrophe des retenues. Qui n'a pas fait une soustraction du style 537-364?

Pour les unités, pas de problèmes (enfin presque!). J'ai 7, et je retire 4... humm, il me reste 3. Cela semble facile maintenant, mais demandez à un instituteur (pardon un professeur d'école) si c'est si facile pour nos pauvres enfants.

Pour les dizaines, cela se complique: on ne peut pas enlever 6 de 3 parce que c'est trop grand. On est alors confronté aux mystères de la retenue. On rajoute deux petites retenues:

C'est maintenant que les explications deviennent vaseuses. Comme on ne peut pas enlever 6 de 3, on va "emprunter" une dizaine à la colonne d'après. Le petit 1 rouge représente une dizaine et on a donc non plus "3" mais "13". Du coup je peux retirer la quantité 6. La où, c'est un peu vaseux, c'est qu'ici le petit 1 rouge n'est pas une dizaine, mais une centaine!
Et comme il faudra en plus rembourser la "dizaine" empruntée, on va tout de suite remettre un petit 1 (en bleu) dans la colonne d'après. Si je vous dit que le 13 représente 13, mais que le 13 représente 1+3 soit 4, pensez comme c'est compliqué pour les petites têtes.

Arrivé au lycée.

Par curiosité, j'ai demandé à des élèves de première S (des "matheux") de me faire une soustraction à retenue. Le vous laisse imaginer ce qui en restait!

Que font les ordinateurs?

Les ordinateurs travaillent en interne dans plusieurs bases, dont la plus utilisé, et la plus rapide est le binaire (je fais comme si c'est du binaire, car sur les fils, ce n'est ni des 1 ni des 0 qui se déplacent, mais des tensions...).

J'affirme que les machines ne savent pas faire de soustractions, et qu'en conséquence elles remplacent les soustractions par des additions. C'est cette méthode qui va nous intéresser maintenant. Je ne démontre pas cette affirmation. Vrai ou faux, cela ne change rien à la méthode pour faire 537-364.

La méthode pour réaliser des soustractions en décimal va s'inspirer de ce que font les ordinateurs. Cette façon de faire est donc extrêmement répandue dans la pratique, même si peu d'humains la connaisse. Il doit y avoir chez moi plus de dix fois plus de calculateurs binaires que de personnes, car ces machines se trouvent un peu partout maintenant (ordinateur, calculatrice, montre et réveil digitaux, machine à laver, disque dur, souris informatiques, clavier, clef USB, cartes bancaires, mp3, VMC, compteur EDF, télévision, télécommandes, box...).

Une nouvelle méthode pour faire une soustraction.

Pour faire 537 - 364, on va faire 537 + C9(364) + 1. Il faut choisir le nombre de chiffres sur lequel on fait le calcul et s'y tenir; ici, on fera sans doute le calcul sur 3 chiffres, mais on peut aussi le faire sur 4 ou plus.

C9(364) veut dire "complément à 9 de 364". Cela rajoute un petit calcul supplémentaire, mais je supprime surtout la soustraction que nous ne savons pas bien faire par une addition. C'est une méthode qu'il faut prendre comme ça, sans avoir besoin de la comprendre. C'est un peu comme si pour conduire, vous n'aviez pas besoin de savoir ce qui se passe dans le carburateur lorsque vous appuyez sur l"accélérateur

Complément à 9 et résultat.

Dans la pratique, pour avoir le complément à 9 s'obtient par le remplacement chiffre à chiffre suivant la table d'échange:

Cette table est facile à obtenir et peu d'habitude permet passer d'un chiffre à son complément: la somme ligne par ligne fait 9 (c'est pour cela que l'on parle de complément à "9").

Le complément à 9 du nombre 364 c'est 635 (3 devient 6, 6 devient 3, 4 devient 5). On va donc remplacer notre soustraction par une addition (je choisis de tout faire sur 3 chiffres:

Les additions c'est plus facile et notre addition donne 1173. Mais comme on a décidé de faire les opérations sur 3 chiffres, force est d'abandonner le 1 de gauche. On ne garde que les 3 chiffres de droite que l'on reporte à gauche dans la soustraction.

Sur 5 chiffres.

On ne peut pas faire la même soustraction sur 2 chiffres, mais on peut la faire sur 4 chiffres ou plus. Sur 5 chiffres cela donne:

Ebauche de démonstration.

Sur N chiffres si l'on fait A+C9(A) on ne trouve que des 9. En effet colonne par colonne un chiffre et son complément donne 9. Et si l'on fait A+C9(A)+1 on va trouver 0 (plus une retenue qui disparaît car elle se trouve en N+1^ième position. Et si A+C9(A)+1=0, on peut dire que C9(A)+1=-A. Ajouter le complémentde A plus 1, c'est ajouter -A, soit encore de retrancher +A.

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