Petits problèmes et énigmes mathématiques.

Introduction.

Cette page regroupe des petits problèmes mathématiques pour la plupart que j'aime bien. La difficulté vient bien souvent parce que l'on ne sait pas comment aborder le problème. Parmi ceux-ci, il n'y a en principe pas de gros pièges.

Les difficultés des problèmes sont classé par des étoiles:
- * : problème simple et si vous avez la solution, c'est en principe le bonne
- ** : problème plus difficile
- *** : problème un peu plus complexe, il se peut que vous certifiez une solution fausse
- **** : problème qui nécessite beaucoup de réflexion, et ou la solution n'est pas facile à trouver et à comprendre. Vous avez même peut être une meilleure solution que moi.

Les solutions ne sont pas sur ce site. N'hésitez pa à me donner votre solution, je vous dirai si elle est bonne ou vous aiderai à progresser.

L'escargot et le puits*.

Un escargot est tombé dans un puits de 12 mètres. Le jour, il remonte de deux mètres, mais la nuit il dort et glisse, et cela le fait redescendre d'un mètre. Au bout de combien de jours aura-t-il atteint la margelle du puits?

.sertèm ezuod ua evirra il ,ruoj emèizno el .erueh ertauq-tgniv ne noissergorp ed ertèm nu tiaf li( sertèm xid ed étnom arua togracse'l ,stiun xid te sruoj xid ed tuob uA

Six oeufs, six poules*.

Sachant qu'en moyenne une poule et demie pond un oeuf et demi en un jour et demi en un jour et demi, combien pondent six poules en six jours?

.sfueo ertauq-tgniv tios ,sfueo'd sulp siof ertauq arua y li ,spmet ed sulp siof ertauq nE .sfueo xis tnednop seluop xis cnod ,imed te fueo nu dnop imed te eluop enu ,imed te ruoj nu nE

Un vélo trop lent dans la montée**.

Jacques sait qu'avec son vélo, il fait du 20km/h de moyenne sur le plat. Lundi, il attaque la montée d'un col. Vu que cela grimpe, il va plus lentement que sa moyenne habituelle, il réalise seulement un 10 km/h. A quelle vitesse faut-il qu'il redescende du col pour garantir sa moyenne habituelle de 20 km/h?

Aide pour vérifier votre solution: vous pouvez vérifier dans le cas où il y a 10 km de montée. Supposons par exemple que vous pensiez qu'il doit descendre à 30 km/h. Il mettra 1 heure pour monter (10 km à 10 km/h) et 20 minutes pour descendre (trois fois plus vite). Il a donc fait 20 km en 1 heure 20 minutes, ce qui ne fait que 15 km/h de moyenne.

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72 et les trois enfants**.

Un homme va chez un ami qui a trois enfants, il lui demande l'âge de ceux-ci. L'ami rpond: "Le produit des âges de mes enfants est égal 72 et leur somme est égale au numéro de la maison d'en face". L'homme réfléchit et dit:
- Tu as dû oublier une donnée!
- Ah oui, mon aîné joue au football.
- D'accord j'ai trouvé, c'est facile."

Quel est l'âge des trois enfants?

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Les deux dactylos**.

Pour taper le rapport d'activité au propre, une dactylo met 10 heures. Une deuxième dactylo, qui est plus lente mettrait 15 heures. Combien de temps mettent les deux dactylos si elles se mettent ensembles?

Attention, ce n'est pas la moyenne: elles ne vont pas mettre 12h30 car à deux elles vont plus vite que la première toute seule.

.telpmoc troppar el repat ruop serueh xis cnod arduaf lI .troppar ud emèixis nu tiaf iuq ec 051/52 erocne tios 051/01+051/51 tios ,emèizniuq nu ertua'l te ,troppar ud emèixid nu repat av enu'l ,erueh enu nE

Speedy la mouche***.

Speedy est une mouche marseillaise surnommée ainsi parce qu'elle vole 150 km/h. Elle s'est faite remarquée par un jour morne à Marseille. Les mouches avaient faim d'un bon dessert! Or voici que Speedy a appris lors d'un de ses voyages qu'un train chargé de viande avariée allait partir de Paris (à 900 km de Marseille) le mercredi suivant à midi.

Le mercredi en question, à midi, toutes les mouches gourmandes se rassemblent à la gare et discutent. Speedy impatiente, propose d'aller voir où en est le train convoité. Sachant dit-elle "que le train roule à 100 km/h j'ai le temps d'aller voir où en est le train et de revenir". A midi pile donc le train et la mouche s'élancent l'un vers l'autre. Du coté de Macon, Speedy aperçoit le train, fait demi tour pour prévenir les copines. Ces dernières montrent tant d'impatience qu'à peine arrivée à la gare, Speedy repart en direction du train, l'atteint et revient à nouveau vers la gare. Et ainsi de suite jusqu'à l'arrivée du train en gare.

Quelle distance a parcourue Speedy? On négligera les temps d'accélération et de freinage de Speedy et du train, et on supposera petit la taille du train et de la mouche devant les 900 km.

Faites vous aider pour la solution par mail à .fr ou par téléphone (voir ma page "Contactez-moi").

Pour vous embrouiller: Le premier contact visuel se fait plus près de Paris car la mouche vole plus vite que le train ne roule. Le nombre d'allers retour de la mouche est infini, mais les distances parcourues diminuent à chaque fois.

Aide pour vérifier votre solution: cela se fait facilement de tête (sans papier)

Le casino***.

Je joue au casino. Tous les jours. Je gagne systématiquement. Et voici ma combine. Je ne joue qu'à la roulette et je ne mise que sur la case rouge. Je sais que si les noirs sortent, je perd ma mise. Par contre si la bille s'arrête sur rouge, je remporte ma mise et encore autant. Si j'avais misé 100, je remporte 200, mais en réalité je ne gagne que 100 nets; qu'importe! Au début, je jouais au hasard. Comme j'ai un peu moins d'une chance sur deux de gagner (il y a 18 cases rouges, 18 cases noires, mais il y a en plus le zéro qui est vert), logiquement je perds à long terme. C'est pourquoi, je joue avec une autre tactique. Je ne joue un jeton sur les rouges. Si je gagne, je m'arrête de jouer pour ce jour, et je rentre chez moi, content d'avoir arnaqué le casino. Si je perds, je mise deux fois plus, jusqu'à ce que je gagne.

Supposons que je gagne la première fois. J'ai misé 1 jeton, j'en ai gagné 2. Mon bénéfice est de 1 jeton.

Supposons que je gagne la deuxième fois. J'ai misé 1 jeton, puis 2 jetons, j'en ai gagné 4. Mon bénéfice est de 1 jeton (4-3).

Supposons que je gagne la troisième fois. J'ai misé 1 jeton, puis 2 jetons, puis 4 jetons, j'en ai gagné 8. Mon bénéfice est de 1 jeton (8-7).

Supposons que je gagne la Nième fois. J'ai misé 1 jeton, puis 2 jetons, ... puis 2N-1, j'en ai gagné 2N. Mon bénéfice est toujours de 1 jeton (2N - 1 - 2 - ... -2N-1).

Chaque jour, je gagne 1 jeton. Je peux évidemment jouer des jetons de1 ou de 1000, je peux aussi jouer plusieurs "jours" en même temps, jouer une partie sur plusieurs jours, ou alterner rouges, noirs, passe, manque, pair et impaire, ce qui ne change strictement rien. Cela permet d'attirer moins l'attention.

Ma méthode est-elle infaillible?

Proposez une analyse à .fr ou par téléphone (voir ma page "Contactez-moi").

Les traders***.

Dans la fameuse banque qui vient de passer à l'actualité, des traders (on dira qu'ils sont un nombre N) ont réalisé des d'affaires. La banque a mis tout au long de l'année les primes sur un compte de réserve. Le partage de cette prime doit se faire en fin d'année, le 31 décembre exactement. Le 30 décembre, un pot de fin d'année réunit les traders qui s'entendent pour partager équitablement les gains entre tous (serait-il possible de trouver de tels traders?). Aucun d'eux ne connait le montant exact.

Pendant la nuit, l'un d'entre eux qui est honnête, et qui soupçonne les autres de ne pas l'être, a des craintes. Il réussit à craquer le serveur de la banque et, sans pouvoir connaître les opérations du compte de réserve, obtient le montant, et la clef qui lui permet de virer sa part sur son compte personnel. Il s'aperçoit que la somme n'est pas divisible par le nombre de traders (N), et qu'il reste alors un centime d'euro. Il se fait donc un virement sur son compte personnel d'un Nième de la somme totale en rajoutant le centime indivisible (pas de quoi fouetter un chat!).

Un peu plus tard, un deuxième trader est épris du même sentiment (c'est une supposition! normalement les traders n'ont pas de sentiments), parvient comme le premier à craquer le serveur, ignorant que le premier est passé avant lui, fait le partage, et bien que la somme ne soit plus la même, trouve de nouveau un centime non partageable, qu'il se vire sur son compte avec le Nième de la somme.

Encore un peu plus tard, un troisième trader procède de même, et ainsi de suite jusqu'à l'avant dernier. Ils se font tous un virement du Nième de ce qu'a laissé le précédent et du dernier centime indivisible.

Quand le dernier arrive à craquer le serveur de la banque, il s'aperçoit que la somme est parfaitement partageable, sans reste. Il se vire donc exactement sa part.

Quelle était la somme (minimale par exemple) qui se trouvait au début sur le compte de réserve?

Proposez la solution à .fr ou par téléphone (voir ma page "Contactez-moi").

Ce problème avait été posé à mon père avec 5 campeurs et des noisettes. C'est plus poétique, mais cela ne fonctionne bien que pour 5 ou 6 campeurs. Au delà le nombre de noisettes devient astronomique.

Pour voir si vous avez bien compris: si il y avait 5 traders, le compte aurait 2496 centimes. Le premier trader craque le serveur, fait 5 part de 2496/5=499 centimes, reste 1 centime qu'il prend avec sa part (soit 500 centimes). Il laisse sur le compte 4 parts de 499 centimes soit 1996 centimes. Le deuxième trader craque le serveur, fait 5 part de 1996/5=399 centimes, reste 1 centime qu'il prend avec sa part (soit 400 centimes). Il laisse sur le compte 4 parts de 399 centimes soit 1596 centimes. Le troisième trader craque le serveur, fait 5 part de 1596/5=319 centimes, reste 1 centime qu'il prend avec sa part (soit 320 centimes). Il laisse sur le compte 4 parts de 319 centimes soit 1276 centimes. Le quatrième trader craque le serveur, fait 5 part de 1276/5=255 centimes, reste 1 centime qu'il prend avec sa part (soit 256 centimes). Il laisse sur le compte 4 parts de 255 centimes soit 1020 centimes. Le dernier trader craque le serveur, fait 5 part de 1020/5=204 centimes. Il n'y a pas de reste car c'est le dernier. Sa part est donc de 204 centimes. Il laisse sur le compte 4 parts de 204 centimes soit 816 centimes. Avec 5 traders c'est mesquin, mais plus ils sont de fous plus ils rient!

Pour vous aider (c'est rare de ma part!), suivez les étapes:
1) Comprenez le problème avec un reste qui est toujours nul (il ne reste jamais un seul centime à chaque partage. Cherchez toutes les solutions (la plus petite est zéro!).
2) Comprenez le problème avec un reste qui est toujours fixe pour chaque trader, mais pas nécessairement 1 puis 0 (par exemple 1 pour tous, mais aussi par exemple 1 pour le premier, 2 pour le deuxième ...). Comme on ne connait pas les différends restes, on ne peut pas avoir une solution simple, mais imaginez que vous ayez une solution "C centimes" qui fonctionne. A quelle condition k.C ou C+C' fonctionne?
3) Fort de l'expérience précédente, recherchez une solution particulière dans le cas où il resterait toujours un seul centime y compris pour le dernier. Cela vous donnera toutes les solutions (en particulier celle qui correspond à la plus petite somme positive). La solution la plus simple peut se trouver par essais successifs "de tête" en supposant une prime négative (-1, -2,...).
4) En s'aidant du point précédent et en remarquant que pour les N-1 premiers traders, c'est le même problème, calculez ce que laisse chaque trader, et imposez que le dernier laisse une somme divisible par N.
Moi, bien sûr, personne ne m'a aidé et j'ai pris le problème dans l'autre sens: soit C le montant du compte au début, quelle condition sur C pour que le dernier ait un nombre de centimes entier (si l'un touche un nombre de centimes non entier alors les suivants aussi)? Quelle est la succession des nombres pour 2, 3, 4, 5... traders? Quelle formule peut on trouver? D'où vient-elle? Comment prendre le problème dans le bon sens?

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