Petits problèmes et énigmes.
Introduction.
Cette page regroupe des petits problèmes mathématiques
pour la plupart que j'aime bien. Pour les plus simples(*) être sûr de la solution,
garanti de l'avoir trouvée. Pour certains problèmes, je vous recommande de me donner votre solution, se cache
par exemple un problème pour lequel, je n'ai pas encore trouvé de personne ayant donné la bonne solution
(certains étaient certains de leur solution fausse). Se cache aussi un petit problème que je pensais simple,
mais qui après tests s'avère complexe avec des personnes qui ne trouve pas la solution, d'autres qui affirment
qu'elle n'existe pas. Et pourtant....
Les difficultés des problèmes sont classé par des
étoiles:
- * : trop simple! je les ai mis dans le "bac belge/français"
- ** : problème plus difficile
- *** : problème un peu plus complexe, il se peut que vous certifiez une solution fausse
- **** : problème qui nécessite beaucoup de réflexion, et ou la solution n'est
pas facile à trouver et à comprendre. Vous avez même peut être une meilleure solution que moi.
N'hésitez pas à me contacter par mail à
.fr
ou par téléphone (voir ma page "Contactez-moi", c'est gratuit).
La carte postale des vacances**.
Des personnes entrent dans un tabac presse parisien animés du
désir d'envoyer une carte postale de vacances aux collègues restés au travail. Cela se passe
en l'an 2000. Ces personnes choisissent une carte postale à 2 francs 50 (hé, oui! Notre vieille monnaie!), mais
rechignent à acheter les trois stylos en promotion à 2 francs, vu que 3 stylos pour un seul mot c'est du
gâchis (pas bon pour la planète en langage moderne). Négociations avec le buraliste qui finit par
accepter de vendre un seul stylo pour 66 centimes.
Questions:
- combien sont les acheteurs?
- quelle est leur nationalité?
- quel est leur sexe?
.esiaçnarf étilanoitan ed te ,ninim;éf exes ed ,siort cnod tnos sellE
.reifirév ruop noitidda'l setiaF .sesiaçnarf siort ruop tuot ne a ne y li'uq tiaf alec sis etnaxios cnarf
oréz à olyts nu sulp etnauqnic scnarf xued à elatsop etrac enU
Les quinze chameaux**.
Un bédouin possède 6 chameaux pour transporter des
denrées dans le nord de l'Afrique. Il a un fils, et rédige son testament sous la forme "je
lègue mes chameaux à mon fils". Lorsque son deuxième fils nait, il refait son testament "je
lègue 4 chameaux à mon ainé et 2 à mon second fils". Suite à l'expansion de son
activité et de son désir de descendance plus étoffée, il réfléchit de
nouveau à la formulation de son testament pour ne pas avoir à le refaire à chaque naissance ou
chaque fois qu'il augmente ou diminue son cheptel. Il formule donc ainsi son testament: "je lègue la
moitié de mes chameaux à mon premier fils vivant, la moitié de ce qu'il reste à
mon second fils vivant et ainsi de suite jusqu'au dernier". Lorsqu'il meurt, il laisse 15 chameaux, et ses 4 fils
vivants doivent se les partager. Comment font-ils pour se mettre d'accord sachant qu'un chameau entier à de
la valeur mais qu'un morceau de chameau ne vaut pas grand chose?
.étnurpme uaemahc el erdner ed etiusne tiffus lI .reinred el ruop nu te emèisiort
el ruop xued ,tnavius el ruop ertauq ,énia'l ruop tiuh ,xuaemahc 61 a y li :elbasiaf isnia tse egatrap eL
.uaemahc nu tneuol sfnafne sel ,ediuqil tnegra'l cevA
Smith, Jones et Brown**.
Voici un problème de la vie courante assez embrouillé
pour rendre perplexe le mathématicien, mais qu'une maîtresse de maison avertie résout
instantanément.
Smith, Jones et Brown étaient de grands amis. Depuis la
mort de la femme de Brown, c'était sa nièce qui tenait sa maison. Smith était également veuf
et vivait avec sa fille. Quand Jones se maria, sa femme et lui suggérèrent qu'ils vivent tous
ensemble. Chacun (homme ou femme) devait donner 25€ au début du mois pour les frais du ménage. Ce qui
resterait à la fin du mois serait équitablement réparti. Les dépenses du premier mois
s'élevèrent à 92€. Quand le reste fut distribué, chacun reçut un nombre entier
et pair d'euros. Combien chacun reçut-il ?
.senoJ ed emmef al te htimS ed ellif al cnod tse'c ,nworB ed ecèin aL .nucahc sorue
xued tios stnatser sorue tiuh sel tnegatrap es sli ,ertauq tnos sli iS .sulp non sap elloc en alec ;regatrap
tneviod sli'uq sorue siort-etnert tse'c ,qnic tnos sli iS .elbissop sap tse'n iuq ec sorue 85 tiaretser li
,sorue 051 tuot ne rennod tnov sli ,segrahc sel regatrap à xis tnos sli iS
Le pastis**.
En suivant la recette séculaire, Paul compte se faire
un pastis. Il commence par mettre un gros glaçon dans un verre propre, verse une rasade de pastis, puis
rempli l'espace vide avec de l'eau. Pour prouver son habileté il ajoute l'eau jusqu'à la limite la
plus haute possible, sans toutefois qu'il y ait débordement. Paul observe son œuvre. Seulement, pour
l'instant le glaçon dépasse hors de l'eau. Que se passera-t-il lorsque le glaçon aura fondu?
Vu qu'il y a une partie qui dépasse le bord haut du verre, le précieux pastis aura-t-il
débordé? Ou au contraire, le niveau aura-t-il descendu? Sera-t-il resté stable?
Justifiez la solution si on néglige l'effet de l'alcool.
.noçalg ud etnof al tnadnep sirpmoc y sap eguob en uae'l ed uaevin eL .seuqitnedi tnos
semulov sel ,sac xued sel snad uae'l ed tse'c emmoc ,seuqitnedi tnos sdiop sel iS .noçalg ud etnof al rap
etiudorp uae'led sdiop ua elagé tse te edèmhcrA'd eéssuop al te sdiop nos :secrof xued suos
erbiliuqé ne tse reinred ec rac noçalg ud sdiop ua elagé tse )edèmihcrA'd
emèroéht ud eçalpéd uae'l ed sdiop( noçalg ud eégremmi eitrap al
tiapucco'uq uae'l ed sdiop eL .noçalg ud eégremmi eitrap al tiapucco'uq emulov el tnemetcaxe epucco
noçalg ud etnof al rap tiudorp uae'l is sap eguob en errev el snad uaevin eL
Justifiez la solution en tenant compte de l'effet de l'alcool.
.)noitaropavé snas emêm( etnof al ed erusem a te ruf ua ressiab cnod av uaevin eL
.dnarg sulp tse sitsap ed écalpéd emulov el cnod esned sniom tse sitsap eL .loocla'l ed tneitnoc sitsap
el siam uae'd ésopmoc tse noçalg el ,seuqitnedi tnos sdiop seL .noçalg ud etnof al rap
etiudorp uae'led sdiop ua elagé tse te edèmhcrA'd eéssuop al te sdiop nos :secrof xued suos
erbiliuqé ne tse reinred ec rac noçalg ud sdiop ua elagé tse )edèmihcrA'd
emèro&eacutr;ht ud eçalpéd uae'l ed sdiop( noçalg ud eégremmi eitrap al
tiapucco'uq uae'l ed sdiop eL .noçalg ud eégremmi eitrap al tiapucco'uq emulov el tnemetcaxe epucco
noçalg ud etnof al rap tiudorp uae'l is sap eguob en errev el snad uaevin eL
Tournoi de tennis**.
Un organisateur veut mettre en place un tournoi de tennis. Il y
a N concurrents. A chaque tour, les joueurs s'affrontent deux à deux, et dans chaque match disputé le
vainqueur est inscrit pour disputer un match dans le tour qui suit. Si dans un tour le nombre de joueurs est pair,
il n'y a pas de problèmes, il y a un match pour deux joueurs. Si dans un tour, le nombre de joueurs est
impair, un des joueurs ne jouera pas, et sera qualifié d'office pour le tour suivant. Sachant que le nombre
de joueurs est quelconque, combien de match l'organisateur doit-il programmer?
.srueuoj ed erbmon el euq sniom ed hctam nu arua y lI .)ionrout ud rueuqniav el( nu fuas
sénimille tnos srueuoj sel suot nif al A .énimille tse rueuoj nu ,hctam nu a y li'uq siof euqahC
Que feriez-vous dans cette situation?**.
Une compagnie qui recrutait du personnel, a posé la
question suivante à presque 200 candidats (autant hommes que femmes) et leur a demandé une
réponse écrite:
De retour à la maison, dans votre voiture
sport, en plein milieu d'une terrible tempête, vous passez devant un arrêt de bus et vous y voyez 3
personnes:
a) Une dame âgée gravement malade et qui mourra si elle n'arrive pas à l'hôpital à
temps.
b) Un médecin, bon ami à vous, qui vous a sauvé la vie il y a quelques années.
c) L'être le plus beau que vous n'ayez jamais eu la chance de rencontrer, la personne à qui vous avez
toujours rêvé et avec laquelle vous seriez disposé à passer le reste de votre vie.
Comme votre auto est du genre sport, vous pouvez seulement amener un passager.
Que feriez-vous?
.evêr ed erutaérc al ceva retser ed te ,latipoh'l à edalam emad al
enèmme li'uq ruop nicedém ima'l à erutiov al ressap ed tse'c ,xueim eL
10€ en plus**.
J'ai 500€:
| je dépense | 200€ | | il me reste | 300€ |
| je dépense | 150€ | | il me reste | 150€ |
| je dépense | 90€ | | il me reste | 60€ |
| je dépense | 60€ | | il me reste | 0€ |
| 500€ | | | 510€ |
d'où viennent les 10€ en trop?
?sedilav sebmaj 3 cnod ia'j ,enu essac ne'm ej ,sedlav sebmaj 2 ia'J .siof enu ne tuot
eriartnoc ua uo ,orue rap orue esnepéd no is essap es iuq ec riov ed zeyassE ...€051 sel snad sulcni
tse €06 ed etser el :emmos emêm al siof srueisulp etuoja no rac snes ed sap a'n alec ,setser stneréffid
sel retuoja sap tuep en nO
La péniche et les deux pêcheurs***.
Sur les coups de midi, une péniche entre dans une
écluse. Les portes se referment derrière elle, mais comme il est l'heure de la pause déjeuner,
l'éclusier s'en va, bloquant ainsi la péniche dans son basin isolé. Le marinier, pour passer
le temps s'installe pour pêcher. Il fait chaud, et pour se mettre à l'aise, le marinier choisi une
place qui offre l'avantage que ses pieds frôlent l'eau; ainsi il est au sec, mais au frais. Sur la berge de
l'écluse, se trouve un autre pêcheur qui l'imite. La voiture du marinier était mal
arrimée, se décroche, tombe depuis péniche dans l'eau et coule. Les deux pêcheurs
soulèvent les pieds pour ne pas être mouillés par les remous. Lorsque le calme revient, les
deux pêcheurs redescendent leurs pieds. Mais ont-ils les pieds mouillés (le niveau de l'eau est
monté par rapport à leurs sièges respectifs), ont-ils les pieds au sec (niveau plus bas) ou
sont-ils de nouveau confortables? Notez que lorsque la voiture tombe dans l'eau elle occupe de la place dans l'eau
(cela fait monter le niveau), mais la péniche étant plus légère elle flotte plus ce qui fait
baisser le niveau.
.duahc ua sdeip sel xued sel suot snod tno slI .uae'l euq esned sulp tse erutiov al rac
udnecsed tiaté li'uq sniom siam ,retnom uaevin el tiov egreb al ed ruehcêp eL .)ceva etnom ehcinép
al ,etnom uae'l ed uaevin el is( reiletab el ruop neir egnahc en alec ,uae'l snad egnolp erutiov al euqsroL .semmoh
xued sel ruop ressiab av uae'l ed uaevin eL .uae'l ed uaevin ua troppar rap etnomer te eégrahc sniom tse
ic-llec ,ehcinép al etiuq elle'uqsroL .uae'l snad av elle etiusne siup ,ehcinép al etiuq elle droba'd
:siof xued ne ehcinép al rebmot eriaf sulp ed av nO .sdiop emêm el tiaresèp te emulov
emecirc;&m el tiarepucco elle rac eé,tcapmoc tse erutiov al is emêm el tse emèlborp eL
Trois repas pour 25€***.
Trois jeunes gens vont manger dans un kebab. A la fin de leur
collation, l'addition arrive et indique un montant boisson comprise de 25€. Chacun de nos lascars dépose un
billet de 10€. Le serveur est un malin, il sait que si il rend un billet de 5€, il risque de ne pas avoir de pourboire.
Il rend donc la monnaie avec cinq pièces de 1€. Comme prévu, chacun des trois compères empoche 1€,
et ils laissent 2€ de pourboire, ne pouvant pas se le partager. Or si on fait le calcul, chacun a payé 9€ (10€
en billet moins 1€ récupéré) soit au total 9x3 = 27€, auquel je rajoute les 2€ de pourboire.
J'arrive à 29€. Où est passé le 30ième euro?
.etnahc uov alec is eriartsuos sel tuep nO .snaded àjéd tnos sorue xcued sel rac
tpes-tgniv xua sorue xued sel retuoja'd tiord el sap a'n nO
Le tour du monde en avion***.
Pour fêter l'an 2000, un concorde spécial a
été affrété au départ de Paris. Les clients sont invités le samedi 1er janvier
2000 à 11 heures du matin pour un apéritif. A midi l'avion décolle de Paris en direction de New York et
les passagers en profitent pour prendre le repas de midi (du samedi midi 1er janvier 2000). L'avion volant plus vite que
ne tourne la terre, tout ce petit monde arrive à 11 heures à New York pour un petit apéritif à
terre. A midi, l'avion redécolle pour Vancouver, et les passager reprennent un repas du midi (du samedi midi 1er
janvier 2000). L'avion volant plus vite que ne tourne la terre, tout ce petit monde arrive à 11 heures à
Vancouver pour un petit apéritif au sol. A midi, l'avion redécolle pour Hong Kong, et les passager reprennent
un repas du midi (du samedi midi1er janvier 2000). Vous connaissez la suite, il prennent l'apéro le samedi 1et
janvier à 11 heures à Hong Kong, puis le repas du samedi dans l'avion, un nouvel apéro à 11 heures
à Tel Aviv, puis un autre repas du samedi midi, puis arrivent enfin, 23 heures après leur départ
initial, à Paris sur le coup de 11 heures pour un dernier apéritif. Seulement pour eux, il est toujours
samedi 1er janvier, alors que ceux qui sont restés à terre on un calendrier qui indique le dimanche 2
janvier. Les passagers de l'avion ont ils changés de date à midi?
.éuqilpxe neib sèrt tse tuoT ."etad ed tnemegnahc ed engil" tnahcrehc ne
aidképikiw ed etis el retlusnoc ed tse ueim eL
La bouteille de champagne***.
Un producteur de vin vend du champagne à 20€ la bouteille.
Sachant que le liquide qui est dedans coûte 19€ de plus que le verre, combien coûte le verre?
Aide pour vérifier votre solution:
- quel est le prix du verre (votre solution)?
- quel est le prix du liquide (prix du verre + 19€)
- quel est le prix de l'ensemble (somme des deux dernières lignes)?
- cela fait-il bien 20€?
.ediuqil el ruop etnauqnic sorue fuen-xid erid à tse'c sulp ed fuen-xid te errev el ruop
semitnec etnauqnic :elpmis tnatruop tse'c ,sertua el ruop elbissopmi ,snu el ruop eriatatnemélE
Le disque vinyle****.
Les données à ce problème sont volontairement
arrondies pour rendre les calculs plus simples.
Un disque vinyle a un diamètre de 30 cm. Au centre une zone
de 10 cm de diamètre n'est pas gravée pour pouvoir y coller une étiquette. Les sillons sont
espacés d'un millimètre. Combien y a-t-il de sillons?
Pour vous embrouiller:
- attention à ne pas confondre rayon et diamètre
- attention au problèmes d'intervalles (si on a un champ de 10m et que l'on plante un arbre tous les mètres,
il faut 11 arbres et non pas dix).
- il y a une astuce pour ne pas trop compter
.euqsid ud ruessiapé'l tse'c :ertèmillim nu ed sécapse tnos snollis sel erid
tuep éçnoné'l euq alec ruop tse'C .ecaf euqahc rus nu ,snollis xued a y li ,noitnetta siaM .elarips ne
tiaf es erutcel al ,lyniv euqsid nu ruS
La belle mère débarque****.
13 Mai. Claire et Michel viennent de se mettre en ménage sous
l'œil réprobateur de la mère de Michel. Celle ci suppose que Claire n'est pas une bonne
ménagère et veut savoir si la maison sera bien rangée. Elle décide donc de faire son
inspection à l'improviste. Elle dit au nouveau couple: "je viendrais voir si le ménage est fait, si la
vaisselle est faite, si il ne traine pas de linge sale... un jour du mois prochain (juin) mais pour être sûr
que vous ne m'attendiez pas à l'avance (vous rangeriez la maison mieux que d'habitude), vous ne pourrez pas savoir
quel jour ce sera, ce jour sera tiré au hasard".
Claire n'est pas enchanté d'être prête pendant les
30 jours du mois de juin. Mais Michel fait un calcul et dit "pas 30! 29 seulement!". En effet sa mère ne peut pas
débarquer le 30 car c'est le dernier jour. Si elle n'est pas encore venue le 29 au soir, Claire et Michel en
déduiraient de façon certaine qu'elle viendrait le 30 (car elle doit venir en juin), mais ce n'est pas
possible car elle a bien précisé "vous ne pourrez pas savoir quel jour ce sera".
Claire réfléchit et complète le raisonnement: nous
savons qu'elle doit venir entre le 1er et le 29 juin (vu que le 30 ce n'est pas possible), mais du coup elle ne peut pas
venir le 29 car nous le saurions la veille (il ne resterait plus que le 29, le 30 étant impossible). Puis elle
insiste: du coup elle viendra entre le 1er et le 28... et donc elle ne viendra pas le 28, vu que c'est le dernier jour
(si elle n'est pas venue le 27 au soir, il ne lui reste plus que le 28 29 et 30, sauf que les 29 et 30 ne sont pas
possibles, il ne resterait en fin de compte que le 28). En remontant ainsi, elle ne peut venir que le 1er, ce qui
évidemment ne colle pas non plus.
Ou est l'erreur?
Proposez une explication à
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ou par téléphone (voir ma page "Contactez-moi").
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